Uformelt er en gruppe cyklisk hvis den er genereret af et enkelt element. Det er abelsk, hvis multiplikation pendler. En gruppe er cyklisk, hvis den kan genereres af et enkelt element.
Er en abelsk gruppe cyklisk?
Alle cykliske grupper er Abelske, men en Abelsk gruppe er ikke nødvendigvis cyklisk. Alle undergrupper af en abelsk gruppe er normale. I en abelsk gruppe er hvert element i en konjugationsklasse for sig selv, og tegntabellen involverer potenser af et enkelt element kendt som en gruppegenerator.
Hvordan beviser man, at en abelsk gruppe er cyklisk?
Bevis
- Lad G være en cyklisk gruppe med en generator g∈G. Vi har nemlig G=⟨g⟩ (hvert element i G er en potens af g.)
- Lad a og b være vilkårlige elementer i G. Så eksisterer der n, m∈Z sådan, at a=gn og b=gm.
- Derfor får vi ab=ba for vilkårlig a, b∈G. G er således en abelsk gruppe.
Hvordan ved du, om en gruppe er cyklisk?
4 svar. En endelig gruppe er cyklisk hvis, og kun hvis, den har præcis én undergruppe af hver divisor i dens orden. Så hvis du finder to undergrupper af samme rækkefølge, er gruppen ikke cyklisk, og det kan nogle gange hjælpe.
Hvad er cyklisk gruppe forklare med et eksempel?
For eksempel (Z/6Z)×={1, 5} , og da 6 er to gange et ulige primtal er en cyklisk gruppe. … Når (Z/nZ)× er cyklisk, kaldes dets generatorer primitive rødder modulo n. For et primtal p er gruppen (Z/pZ)× altid cyklisk, bestående af elementerne i det endelige ordensfelt p., der ikke er nul.
