Hvis A er en m × n matrix, så har ATA og AAT de samme egenværdier, der ikke er nul … Derfor er Ax en egenvektor af AAT svarende til egenværdien λ. Et analogt argument kan bruges til at vise, at hver egenværdi af AAT, der ikke er nul, er en egenværdi af ATA, og dermed fuldende beviset.
Er egenværdier for AAT og ATA de samme?
Matricerne AAT og ATA har de samme egenværdier, der ikke er nul. Afsnit 6.5 viste, at egenvektorerne for disse symmetriske matricer er ortogonale.
Er ATA det samme som AAT?
Da AAT og ATA er ægte symmetriske, kan de diagonaliseres med ortogonale matricer. Det følger af det foregående udsagn (da de geometriske og algebraiske multipliciteter falder sammen), at AAT og ATA har de samme egenværdier.
Har ATA distinkte egenværdier?
Sandt. For eksempel, hvis A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , så har den karakteristiske ligning det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 ingen gentaget rod. Derfor er alle egenværdier af A distinkte, og A er diagonaliserbar. 3.35 For enhver reel matrix A er AtA altid diagonaliserbar.
Kan forskellige egenvektorer have samme egenværdi?
To distinkte egenvektorer svarende til den samme Eigenværdi er altid lineært afhængige. To distinkte egenvektorer, der svarer til den samme egenværdi, er altid lineært afhængige.
